Zenón (aprox. 490-430 a.C.) 2ª Parte y última

Pablo Manuel Ramos Vallejo

Entrando en materia, diremos que: estas cuatro paradojas o argumentos de Zenón, a los cuales nos referimos son: La de Dicotomía, La de Aquiles y la Tortuga, La de la Flecha y la del Estadio. Las cuales enunciaremos a continuación con sus respectivas réplicas.

1.- ARGUMENTO DE LA DICOTOMÍA (para un solo cuerpo móvil): Zenón está a ocho metros de un árbol. Llegado un momento, lanza una piedra, tratando de dar al árbol. La piedra, para llegar al objetivo, tiene que recorrer antes la primera mitad de la distancia que lo separa de él, es decir, los primeros cuatro metros, y tardará un tiempo (finito) en hacerlo. Una vez que llegue a estar a cuatro metros del árbol, deberá recorrer los cuatro metros que le quedan, y para ello debe recorrer primero la mitad de esa distancia. Pero cuando esté a dos metros del árbol, tardará tiempo en recorrer el primer metro, y luego el primer medio metro restante, y luego el primer cuarto de metro… De este modo, la piedra nunca llegará al árbol. Con otras palabras, si el espacio es infinitamente divisible, entonces eso quiere decir que cualquier distancia finita contiene un número infinito de puntos. Ahora bien, si ello es cierto, entonces sería imposible alcanzar una serie infinita en un tiempo finito. Por lo tanto, sería imposible alcanzar el final de un estadio. Igualmente, es posible utilizar este razonamiento de forma análoga, para demostrar que la piedra nunca llegará a salir de la mano de Zenón. Es cierto que el número de puntos recorridos (y tiempos invertidos en hacerlo, según el argumento de la paradoja) es infinito, pero su suma es finita y por tanto la piedra llegará al árbol.

La paradoja de la piedra puede ser planteada matemáticamente usando series infinitas. Las series infinitas son sumas cuyo término variante (que puede tomar cualquier valor numérico) va hasta el infinito. Las series infinitas pueden ser convergentes o divergentes, en el primer caso la suma de las mismas es un número finito, en el segundo no. Para atravesar un segmento lineal es necesario alcanzar su punto medio. Para hacer esto se debe alcanzar la cuarta parte, para hacer esto se debe alcanzar la octava parte y así hasta el infinito. Por lo tanto el movimiento nunca puede comenzar. Este argumento no se explica por la bien conocida suma infinita 1/2 + 1/4 + 1/8 +… = 1. Por una parte Zenón puede afirmar que la suma 1/2 + 1/4 + 1/8 +… nunca alcanza realmente 1, pero más desconcertante para la mente humana es el intento de sumar 1/2 + 1/4 + 1/8 +… hacia atrás. Antes de atravesar una unidad de distancia debemos llegar a la mitad, pero antes de llegar a la mitad debemos llegar al 1/4 del camino, pero antes de llegar al 1/4 del camino debemos alcanzar el 1/8 del camino, y así sucesivamente ad infinitum. Este argumento nos hace comprender que nunca podemos comenzar ya que estamos intentando aumentar esta suma infinita desde el extremo equivocado. De hecho es un inteligente argumento que todavía deja perpleja a la mente humana hoy día.

2.- ARGUMENTO DE AQUILES Y LA TORTUGA (movimiento para más de un cuerpo): Frente al argumento del estadio en donde se habla acerca de un solo cuerpo móvil, en este argumento, Zenón, se ocupa del movimiento relativo a dos cuerpos, por lo que, esta paradoja es una variante de la anterior, aquí Zenón nos dice que: Aquiles, llamado “el de los pies ligeros” y el más hábil guerrero de los Aqueos, quien mató a Héctor, decide salir a competir en una carrera contra una tortuga. Ya que corre mucho más rápido que ella, y seguro de sus posibilidades, le da una gran ventaja inicial. Al darse la salida, Aquiles recorre en poco tiempo la distancia que los separaba inicialmente, pero al llegar allí descubre que la tortuga ya no está, sino que ha avanzado, más lentamente, un pequeño trecho. Sin desanimarse, sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, ésta ha avanzado un poco más. De este modo, Aquiles no ganará la carrera, ya que la tortuga estará siempre por delante de él. Se llega a la conclusión de que Aquiles nunca alcanzará a la tortuga, porque cuando Aquiles recorra las diez yardas la tortuga ya habrá avanzado una, y cuando Aquiles recorra esa yarda, la tortuga ya habrá avanzado una décima de yarda y así sucesivamente por lo que la tortuga nunca será alcanzada.

La réplica a esta paradoja la podemos sustentar en que actualmente, se conoce que Aquiles realmente alcanzará a la tortuga, ya que, como demostró el matemático escocés James Gregory (1638-1675), una suma de infinitos términos puede tener un resultado finito. Los tiempos en los que Aquiles recorre la distancia que lo separa del punto anterior en el que se encontraba la tortuga son cada vez más y más pequeños, y su suma da un resultado finito, que es el momento en que alcanzará a la tortuga. Otra manera de plantearlo es que Aquiles puede fijar un punto de llegada que está metros delante de la tortuga en vez del punto en que ella se encuentra. Ahora, en vez de cantidades infinitas, tenemos dos cantidades finitas con las cuales se puede calcular un espacio finito de tiempo en el cual Aquiles pasará a la tortuga. O bien, otra forma de encarar el problema es huyendo del análisis infinitesimal, cuyo planteamiento matemático se desconocía en tal época, para reconvertirlo en análisis discreto: Filípides -el campeón olímpico al que se ordenó que abandonara las filas del ejército para comunicar a Atenas la victoria conseguida sobre los persas en la playa de Marathon– no recorre espacios infinitesimales, sino discretos, que podemos denominar zancada. A cada zancada le podemos asignar un espacio concreto. Por ejemplo podemos suponer que Filípides recorre un metro a cada zancada. Ahora el problema se reduce a la comparación de velocidades relativas: calcular en qué momento la última zancada de Filípides recorrerá una distancia mayor a la que haya podido recorrer la tortuga en el mismo tiempo, incluso aunque no sepamos definir la distancia exacta que la tortuga recorrería. Es decir, basta que una de las variables sea discreta y que podamos suponer que, en determinado tiempo, puede superar a las distancias infinitesimales, para demostrar, incluso teóricamente, que el movimiento existe. El tema está en que la paradoja sólo se presenta considerando el espacio sin el tiempo, cuando sabemos que el movimiento es una función “continua” del espacio en función del tiempo.

3.- ARGUMENTO DE LA FLECHA DISPARADA o de la Flecha (tiempo y espacio mínimos indivisibles/movimiento de un solo cuerpo): A diferencia de los dos primeros argumentos, en este se considera al espacio y al tiempo como compuestos de mínimos indivisibles, pues esta aporía establece lo siguiente: Un objeto está en reposo cuando ocupa un espacio igual a sus propias dimensiones. Es así que una flecha en vuelo, ocupa, en un momento dado, un espacio igual a sus propias dimensiones; luego, una flecha en vuelo está en reposo. Es decir, un objeto moviéndose en el aire siempre ocupa un espacio igual a sí mismo, por lo tanto no puede estar en movimiento, esto es, la flecha está en reposo y el movimiento es una ilusión.

Zenón nos dice en esta aporía que, se lanza una flecha. En cada momento en el tiempo, la flecha está en una posición específica, y si ese momento es lo suficientemente pequeño, la flecha no tiene tiempo para moverse, por lo que está en el reposo durante ese instante. Ahora bien, durante los siguientes periodos de tiempo, la flecha también estará en reposo por el mismo motivo. De modo que la flecha está siempre en reposo: el movimiento es imposible.

Un modo de resolver este argumento se basa en observar que, a pesar de que en cada instante la flecha se percibe como en reposo, estar en reposo es un término relativo. No se puede juzgar, observando sólo un instante cualquiera, si un objeto está en reposo. En lugar de ello, es necesario compararlo con otros instantes adyacentes. Así, si lo comparamos con otros instantes, la flecha está en distinta posición de la que estaba antes y en la que estará después. Por tanto, la flecha se está moviendo. Otra perspectiva es acudir, directamente, a la definición de velocidad, cuya idea esencial es la de cambio: se cambia de espacio en un tiempo determinado. Así que, por definición, un cuerpo que se mueve, sin alterar el volumen de espacio que ocupa en cada momento, cambia de espacio, es decir, ocupa la misma cantidad, volumen, y forma de espacio, pero en un lugar distinto, al momento siguiente. El movimiento sería la sucesión de los distintos espacios ocupados por el cuerpo (móvil) en la sucesión de los distintos momentos que componen la magnitud de tiempo considerado. Así, si asumimos que el concepto velocidad, es decir, movimiento, puede definirse racionalmente, simultáneamente estamos admitiendo que el movimiento, racionalmente, en teoría, existe.

Zenón ha presentado un profundo problema que, a pesar de los siglos de esfuerzos por resolverlo, todavía parece carecer de una solución verdaderamente satisfactoria. La mente humana, cuando intenta dar a sí misma una descripción precisa del movimiento, se encuentra enfrentada a dos aspectos del fenómeno. Ambos son inevitables pero al mismo tiempo son mutuamente excluyentes. O bien, miramos el flujo continuo del tiempo; entonces nos será imposible pensar en el objeto en ninguna posición particular. O bien, pensamos en el objeto ocupando cualquiera de las posiciones a través de las que su curso le lleva; y mientras fijamos nuestro pensamiento en esa posición particular no podemos ayudar a fijar el objeto mismo y ponerlo en reposo por un breve instante.

4.- ARGUMENTO DE LAS FILAS EN MOVIMIENTO o DEL ESTADIO: Esteargumento se refiere a filas (masas) iguales moviéndose en sentido contrario en el estadio a lo largo de otras filas (masas) iguales, unas a partir del fondo del estadio, las otras desde el medio, con la misma velocidad; la pretendida consecuencia es que la mitad del tiempo es igual al doble del mismo. El paralogismo consiste en que se piense que un cuerpo, con igual velocidad, se mueve en el mismo tiempo, tanto a lo largo de un cuerpo en movimiento como a lo largo del que está en reposo. Este argumento es con mucho el más complicado y el de más difícil descripción de los cuatro, de tal forma que hasta Aristóteles lo entendió mal, pues Zenón era demasiado perspicaz como para caer en el paralogismo del que éste le acusa. La clave de su verdadera significación reside en su relación con los otros tres: la misma relación que hay entre el argumento de Aquiles y el de Dicotomía, existe entre este rompecabezas y el de la Flecha disparada. En otras palabras este argumento se basa también en la creencia de que espacio y tiempo se componen de mínimos indivisibles. Pero tan pronto como comprendemos que se estaba refiriendo a dichos mínimos, se estaría demostrando que, después de todo, son divisibles,por lo que finalmente, lo indivisible resulta ser divisible.

Sugestivo y difuso el planteamiento esgrimido por Zenón, lo que sí es evidente, es que esta forma de argumentar, debió hacer reflexionar a los miembros de la escuela pitagórica, que hasta entonces habían confundido, como ya lo señalamos, las unidades indivisibles de la aritmética, con los puntos geométricos divisibles de magnitud espacial.

Concluyendo, por lo anteriormente enunciado diremos que, las paradojas ideadas por el mismo Zenón de Elea, pertenecen a la categoría de paradojas falsídicas, también llamadas sofismas, esto es, que no sólo alcanzan un resultado que aparenta ser falso, sino que además lo es. Esto se debe a una falacia en el razonamiento, producido por la falta de conocimientos sobre el concepto de infinito en la época en la que fueron formuladas.

A Zenón aplicando este esquema, se le ha considerado como el primero en utilizar la demostración llamada ad absurdum (reducción al absurdo), que toma por hipótesis lo contrario a lo que se considera cierto (en su caso las afirmaciones del adversario) y muestra las incongruencias que se derivan de una consideración de esto como verdadero, obligando al interlocutor a rechazar las premisas y a aceptar las tesis opuestas, que era eran las que se querían demostrar en un principio. Este procedimiento lo lleva a cabo mediante sus aporías. Laercio subraya asimismo su destreza a la hora de analizar los dos lados de cada cuestión o dilema, capacidad que le hizo recibir el título de “inventor de la dialéctica” de la mano de Aristóteles.

Los razonamientos de Zenón constituyen el testimonio más antiguo que se conserva del pensamiento infinitesimal desarrollado muchos siglos después en la aplicación del cálculo infinitesimal que nacerá de la mano de Leibniz y Newton en 1666. No obstante, Zenón era ajeno a todo posible matematismo, presentando una conceptualización de tal estilo como un instrumento necesario para poder formular sus paradojas.

Para concluir diremos que Zenón fue el inventor indiscutible del razonamiento paradójico. Sus aporías que se presentan como un reto para el pensamiento, han tenido una función decisiva en la historia de la filosofía. Ciertamente, es verdad que pueden ser desmentidas fácilmente observando el mundo natural (donde existen, sin duda, movimiento y multiplicidad); sin embargo, su fuerza se halla en el procedimiento riguroso, en la coherencia del razonamiento. El intento de resolverlas desde un punto de vista lógico, mantuvo ocupados durante bastante tiempo a los filósofos griegos, en particular a Demócrito y a Aristóteles. El desafío de Zenón al simple pluralismo es acertado, en eso fuerza a los anti-Parménideanos a ir más allá del sentido común. Aristóteles ofreció una solución a estos argumentos, aunque incorrecta, y sólo se ha logrado una respuesta válida con los modernos conceptos de continuo e infinito.

En este caprichoso mundo nada es más caprichoso que la fama póstuma. Una de las víctimas más notables de la falta de juicio de la posteridad es el Eleático Zenón. Habiendo inventado cuatro argumentos todos inconmensurablemente sutiles y profundos, la grosería de los filósofos posteriores dictaminó que él fuese un mero prestidigitador ingenioso, y sus argumentos todos ellos sofismas. Al final, sin embargo, las dificultades inherentes en sus argumentos han vuelto siempre con gran vehemencia, por que la mente humana está construida de modo que puede mirar a un continuo de dos formas que no son demasiado reconciliables. Paradójicamente tras dos mil años de continua refutación, estos sofismas fueron rehabilitados, y produjeron la fundación del renacimiento matemático…

Es Cuanto…